Metody Numeryczne dla Bioinformatyków

English version here

Zajęcia nr 1:

Plik: binary.py
Operacje zamiany liczb zmiennoprzecinkowych dziesiętnych na binarne i odwrotnie, wraz z pokazaniem błędu podczas zamiany * float_to_binary: Konwertuje liczbę zmiennoprzecinkową na format binarny z precyzją określoną przez tolerancję. * find_upper_and_lower_approximation: Znajduje i zwraca najbliższe przybliżenia binarne (górne i dolne) danej liczby zmiennoprzecinkowej w ramach określonej tolerancji. * binary_fraction_to_exponent: Przekształca ułamek binarny na znormalizowaną notację naukową, zwracając mantysę i wykładnik

Skrypt oblicza i wyświetla reprezentację binarną liczby, jej przybliżenia górne i dolne oraz błąd przybliżenia dla podanej liczby zmiennoprzecinkowej z określoną tolerancją.

Zajęcia nr. 2:

Funkcje

1. fib()

• Generuje i wyświetla ciąg Fibonacciego, aż do wartości mniejszej niż 1000.

2. pierwisatki()

• Rozwiązuje równanie kwadratowe dla podanych współczynników A, B, C.
• Obsługuje przypadki zerowego współczynnika A, negatywnej delty i innych błędów wejściowych.

3. zadanie1()

• Wywołuje funkcję pierwisatki() i wyświetla jej wyniki.
• Obsługuje błędy związane z brakiem funkcji pierwisatki.

4. zadanie2()

• Wczytuje liczby z pliku dane.txt, oblicza średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
• Obsługuje błędy braku pliku, błędnych danych i dzielenia przez zero.

5. funkcja1(x) i funkcja2(x)

• Implementują specyficzne funkcje matematyczne do porównań wyników.

6. zadanie3()

• Wykonuje obliczenia przy pomocy funkcja1 i funkcja2 dla różnych wartości x, wyświetlając wyniki.
• Obsługuje błędy związane z brakiem definicji funkcji oraz inne niespodziewane błędy.

7. re(n, x0, x1)

• Oblicza n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego na podstawie początkowych wartości x0 i x1.
• Obsługuje błędy związane z nieprawidłowym typem danych i wartością n.

8. zadanie4()

• Wykonuje obliczenia dla funkcji rekurencyjnej re oraz wyrażenia np.pow(x, 20).
• Obsługuje błędy definicji funkcji re, importu numpy, dzielenia przez zero i innych niespodziewanych błędów.

9. wybor(argument)

• Wybiera i uruchamia jedną z funkcji (zadanie1, zadanie2, zadanie3, zadanie4) na podstawie przekazanego argumentu.

Użycie

Aby uruchomić skrypt z odpowiednim zadaniem, należy podać numer zadania jako argument przy uruchamianiu skryptu z wiersza poleceń:

python nazwa_skryptu.py <numer_zadania>

Zajęcia nr 3. i 4.

Interpolacja Wielomianowa i Wielomiany Czebyszewa

Funkcje i Zadania

1. lagrange_interpolation_with_polynomial(x_points, y_points)

• Oblicza wielomian interpolacyjny Lagrange’a dla podanych punktów.
• Używana w zadaniach do przybliżenia różnych funkcji.

2. sins(x)

• Funkcja sinusoidalna do interpolacji w zadaniu 1.

3. plot_lagrange_polynomials(polynomials, x_points_sets, y_points_sets, func, func_name=r'$sin(2\pi x)$')

• Generuje wykresy porównawcze interpolacji Lagrange’a dla różnych zestawów punktów.
• Oblicza i wyświetla błąd średniokwadratowy (MSE) dla interpolacji.

Zadania

1. zad1()

• Interpolacja funkcji sinusoidalnej za pomocą wielomianu Lagrange’a z różnymi zestawami punktów.
• Zapisuje wykres do pliku fig.png.

2. zad2()

• Interpolacja funkcji Rungego przy użyciu punktów równomiernie rozmieszczonych.
• Zapisuje wykres do pliku z nazwą funkcja rungego.

3. zad3()

• Interpolacja funkcji "Monster Weierstrassa" (złożonej funkcji trygonometrycznej) za pomocą wielomianu Lagrange’a.

4. zad4()

• Generowanie wykresu dla pierwszych kilku wielomianów Czebyszewa.
• Zapisuje wynikowy wykres w czebuszew.png.

5. zad5()

• Interpolacja funkcji Rungego z punktami Czebyszewa (zoptymalizowanymi punktami dla lepszego przybliżenia).
• Generuje wykres interpolacji.

Uruchamianie Skryptu

Skrypt pozwala na wywołanie różnych zadań przez podanie argumentu wiersza poleceń:

python nazwa_skryptu.py <numer_zadania>

Zajęcia 5 i 6

Hermite i Lagrange Interpolacja

Funkcje

1. hermite(x_values, y_values, dy_values, x)

• Wykonuje interpolację Hermite’a dla danego zestawu punktów ( x, y ) oraz pochodnych ( dy ).
• Tworzy macierz różnic dzielonych i oblicza wartości funkcji na podstawie wartości węzłów i ich pochodnych.

2. MSE(true_val, fnc_val)

• Oblicza błąd średniokwadratowy (MSE) między wartościami rzeczywistymi funkcji a wartościami przybliżonymi.
• Służy do oceny dokładności interpolacji.

3. inet()

• Funkcja główna, która:
  • Definiuje funkcję ( f(x) = x^3 \cos(x) ) oraz jej pochodną.
  • Generuje punkty dla interpolacji Lagrange’a i Hermite’a.
  • Rysuje wykres porównawczy obu interpolacji oraz funkcji oryginalnej.
  • Oblicza i wyświetla MSE dla obu metod interpolacji.

Wykorzystanie

Aby uruchomić skrypt i wykonać interpolację, wystarczy użyć polecenia:

python nazwa_skryptu.py

Numerical Methods for Bioinformatics

Session 1:

File: binary.py
Operations for converting decimal floating-point numbers to binary and vice versa, along with demonstrating conversion error.

• float_to_binary: Converts a floating-point number to binary format with precision specified by tolerance.
• find_upper_and_lower_approximation: Finds and returns the nearest binary approximations (upper and lower) for a given floating-point number within a specified tolerance.
• binary_fraction_to_exponent: Transforms a binary fraction into normalized scientific notation, returning the mantissa and exponent.

  The script calculates and displays the binary representation of a number, its upper and lower approximations, and the approximation error for a given floating-point number with specified tolerance.

Session 2:

Functions

1. fib()

• Generates and displays the Fibonacci sequence up to values less than 1000.

2. pierwisatki()

• Solves a quadratic equation for given coefficients A, B, and C.
• Handles cases of zero coefficient A, negative delta, and other input errors.

3. zadanie1()

• Calls the pierwisatki() function and displays its results.
• Handles errors related to the absence of the pierwisatki function.

4. zadanie2()

• Reads numbers from the dane.txt file, calculates the mean, variance, and standard deviation.
• Handles errors related to file absence, incorrect data, and division by zero.

5. funkcja1(x) and funkcja2(x)

• Implement specific mathematical functions for comparison of results.

6. zadanie3()

• Performs calculations using funkcja1 and funkcja2 for various x values, displaying the results.
• Handles errors related to undefined functions and other unexpected errors.

7. re(n, x0, x1)

• Calculates the n-th term of a recursive sequence based on initial values x0 and x1.
• Handles errors related to incorrect data types and n value.

8. zadanie4()

• Performs calculations for the recursive function re and expression np.pow(x, 20).
• Handles errors in function definition re, importing numpy, division by zero, and other unexpected errors.

9. wybor(argument)

• Selects and runs one of the functions (zadanie1, zadanie2, zadanie3, zadanie4) based on the provided argument.

Usage

To run the script with a specific task, provide the task number as an argument when running the script from the command line:

python script_name.py <task_number>

Sessions 3 and 4

Polynomial Interpolation and Chebyshev Polynomials

Functions and Tasks

1. lagrange_interpolation_with_polynomial(x_points, y_points)

• Computes the Lagrange interpolation polynomial for given points.
• Used in tasks to approximate various functions.

2. sins(x)

• Sinusoidal function for interpolation in task 1.

3. plot_lagrange_polynomials(polynomials, x_points_sets, y_points_sets, func, func_name=r'$sin(2\pi x)$')

• Generates comparison plots of Lagrange interpolation for different sets of points.
• Calculates and displays the mean squared error (MSE) for interpolation.

Tasks

1. zad1()

• Interpolates a sinusoidal function using the Lagrange polynomial with different sets of points.
• Saves the plot to the file fig.png.

2. zad2()

• Interpolates the Runge function using evenly spaced points.
• Saves the plot to a file named Runge function.

3. zad3()

• Interpolates the "Weierstrass Monster" function (a complex trigonometric function) using the Lagrange polynomial.

4. zad4()

• Generates a plot for the first few Chebyshev polynomials.
• Saves the resulting plot in chebyshev.png.

5. zad5()

• Interpolates the Runge function using Chebyshev points (optimized points for better approximation).
• Generates an interpolation plot.

Running the Script

The script allows different tasks to be called by providing a command-line argument:

python script_name.py <task_number>

Sessions 5 and 6

Hermite and Lagrange Interpolation

Functions

1. hermite(x_values, y_values, dy_values, x)

• Performs Hermite interpolation for a given set of points ( x, y ) and derivatives ( dy ).
• Creates a divided difference matrix and calculates function values based on node values and their derivatives.

2. MSE(true_val, fnc_val)

• Calculates the mean squared error (MSE) between true function values and approximated values.
• Used to evaluate interpolation accuracy.

3. inet()

• Main function that:
  • Defines the function ( f(x) = x^3 \cos(x) ) and its derivative.
  • Generates points for Lagrange and Hermite interpolation.
  • Plots a comparison of both interpolations and the original function.
  • Calculates and displays MSE for both interpolation methods.

Usage

To run the script and perform interpolation, simply use the command:

python script_name.py