serie di potenze.md

Particolari serie dove abbiamo gli $x^n$ moltiplicati per coefficienti

[!def] Una serie di potenze è una serie di funzioni della forma $$ \sum_{n=0}^\infty a_{n} (x - x_{0})^n = a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^2+\dots + a_{n}(x-x_{0})^n+\dots$$ È una serie centrata in $x_{0}$ con $a_{n} \in \mathbb{R}$ detti coefficienti.

Se $x=x_{0}$ $$ \sum a_{n}(x-x_{0}) = a_{0}+ a_{1}\underbrace{ (x_{0}-x_{0})^1 }{ 0 } + a{2}\underbrace{ (x_{0}-x_{0})^2 }{ 0 } = a{0}$$ Vogliamo cconoscere l'insieme di [[convergenza]] della generica $$ \sum_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n$$

[!oss] se $a_{n} = 1 \forall n$ l'insieme di convergenza semplice è $(x_{0}-1, x_{0}+1)$ Si tratta infatti di una traslata della [[serie geometrica]]

Posso determinare l'insieme di convergenza della generica serie di potenze senza avere informazioni sugli $a_{n}$? L'insieme di convergenza dipende dalla rapidità di convergenza di $\sum a_{n}$

[!esempio] Consideriamo la [[serie esponenziale]] $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$ abbiamo che $a_{n} = \frac{1}{n!}$ che converge molto rapidamente come si vede usando il [[criterio del rapporto]] $$ l = \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{1}{(n+n!)}=\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n+1} = 0 < 1 $$

Vogliamo quindi determinare il [[raggio di convergenza]]

Integrabilità termine a termine per una serie di potenze reali

Data una serie di potenze $\sum a_{n}(x-x_{0})^n$ avente raggio di convergenza $0 &lt; R \leq +\infty$ per ogni $x \in (x_{0}-R,x_{0}+R)$ finito, vale la formula di integrazione termine a termine:

$$ \begin{align} \int_{x_{0}}^x ! \sum_{n=0}^\infty a_{n}(t-x_{0})^n , \mathrm{d}t &= \sum a_{n}\int_{x_{0}}^x ! (t-x_{0})^n, \mathrm{d}t \\ &=\sum a_{n} \frac{(x-x_{0})^{n+1}}{n+1} \end{align}$$ Che ha raggio di convergenza ancora $R$ infatti: $$ \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{b_{n}}{b_{n+1}} \right| = \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \cdot \frac{n+2}{n+1} \right| = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right) = R $$

Derivabilità termine a termine per una serie di potenze

Data una serie di potenze $\sum a_{n}(x-x_{0})^n$ avente raggio di convergenza $0 &lt; R \leq +\infty$ per ogni $x \in (x_{0}-R, x_{0}+R)$ vale la formula di derivazione termine a termine: $$ \left( \sum_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n \right)' = \sum_{\color{red}n=1\color{white}}a_{n}n(x-x_{0})^{n-1} $$ E la serie di potenze derivata ha raggio di convergenza ancora R. È ovvio che si può reiterare per derivate di ogni ordine:

[!conseguenze] La somma di una serie di potenze è derivabile ad ogni ordine:

serie di potenze complesse

[!def] si dice serie di potenze complesse una serie del tipo: $$ \sum_{n=0}^\infty a_{n}(z-z_{0})^n = a_{0} + a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^2+\dots$$

Con:

• $a_{n} \in \mathbb{C}$ anche se solitamente è in $\mathbb{R}$
• $z \in \mathbb{C}$
• $z_{0} \in \mathbb{C}$

[!teorema]

\begin{document}
\tikz{
\draw[->] (-1.5,-2) -- (-1.5,4);
\draw[->](-2,-1.5) -- (7, -1.5);
\node[circle,draw,scale=6] (c) at (0,0){};
\node(c) at (0,0){$z_{0}$}
}
\end{document}

All'interno del raggio la serie converge, all'esterno non converge, e sul bordo del cerchio va studiato caso per caso.

Le formule per il calcolo di $R$ rimangono valide.

[[serie esponenziale#serie esponenziale complessa]]