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diagonalizzabile

Diagonalizzabilità

$A \in M_{n,n} \mathbb{R}$ è diagonalizzabile in $\mathbb{R}$

Se e solo se i suoi autovalori sono reali e regolari Se e solo esistono $n$ autovettori di $A$ che formano una base di $\mathbb{R}^n$

$\lambda$ Autovalore di A si dice regolare se la sua [[molteplicità algebrica]] coincide con la [[molteplicità geometrica]], ossia

[!oss] $$ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = c(\lambda-\lambda_{1})^{\alpha_{1}}(\lambda-\lambda_{2})^{\alpha_{2}}\dots(\lambda-\lambda_{k})^{\alpha_{k}} $$ Con $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots+\alpha_{k} = n$

$\lambda_{1}$ è regolare $\Leftrightarrow$ gli autovettori relativi a $\lambda$ generano uno spazio vettoriale di dimensione $\alpha_{i}$

A è diagnoalizzabile $\Leftrightarrow \lambda_{i}$ è regolare $\forall i =1,\dots ,k$

Condizioni sufficienti per la diagonalizzabilità

• Se $A \in M_{n,n} \mathbb{R}$ ha $n$ autovalori reali distinti $\Rightarrow$ è diagonalizzabile
• Se $A \in M_{n,n} \mathbb{R}$ è simmetrica $\Rightarrow$ è diagonalizzabile

E la matrice diagonale di $A$ è la matrice diagonale con gli autovalori presi con la propria molteplicità algebrica

[!teorema] $A \in M_{n,n}\mathbb{R}$ diagonalizzabile reale con autovalori $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n} \in \mathbb{R}$ e relativi autovettori linearmente indipendenti $\mathbf{v}{1},\dots,\mathbf{v}{n} \in \mathbb{R}^n$

Un sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo $\mathbf{y}'(t) = A\mathbf{y}(t)$ è: $$ y_{o_{1}}(t) = e^{\lambda_{1}t} \mathbf{v}{1}, \dots, \mathbf{y}{o_{n}}(t)=e^{\lambda_{n}t}\mathbf{v}_{n} $$

Equivalentemente l'integrale generale è $$ \mathbf{y}{o}(t) = c{1}e^{\lambda_{1}}\mathbf{v}{1} + \dots+ c{n}e^{\lambda_{n}t}\mathbf{v}{n}\qquad(c{1},\dots,c_{n} \in \mathbb{R})$$

[!oss] $A\quad n \times n$ diagonalizzabile reale $\Rightarrow$ soluzioni esponenziali $\Rightarrow$ Generalizzando il caso $\Delta > 0$ delle [[EDO del secondo ordine]] lineari